Métodos Numéricos – Apunte – USACH

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Contenidos:

1 Teoría de Error 1
1.1 Representación punto flotante de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Corte y redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Precisión de la representación punto flotante . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Unidad de redondeo de un computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Mayor entero positivo representable en forma exacta . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Underflow–overflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Definición y fuentes de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Fuentes de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Pérdida de dígitos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Propagación de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Propagación de error en evaluación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Errores en sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Estabilidad en métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Inestabilidad numérica de métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Ecuaciones no Lineales 24
2.1 Método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Análisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Análisis del Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Método de Newton multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Método de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Análisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Método de la posición falsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Métodos iterativos de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Métodos iterativos de punto fijo en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.1 Análisis de error para métodos iterativos de punto fijo . . . . . . . . . . . 49
2.8 Raíces múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.9 Aceleración de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.10 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.12 Uso de métodos de integración para obtener fórmulas iterativas para resolver ecuaciones no lineales . . . . .92
2.13 Otras fórmulas iterativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3 Sistemas de Ecuaciones Lineales 96
3.1 Normas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1.1 Normas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Número de condición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales: métodos directos . . . . . . . . . . . 104
3.3.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4 Factorización de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5 Método de eliminación gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.6 Eliminación gaussiana con pivoteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.7 Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.8 Solución de sistemas de ecuaciones lineales: métodos iterativos . . . . . . . . . . 122
3.9 Método de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.10 Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.11 Método de Gauss–Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.12 Método SOR (successive overrelaxation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.13 Otra forma de expresar los métodos iterativos para sistemas lineales . . . . . . . 129
3.14 Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.15 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4 Interpolación 153
4.1 Interpolación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.1.1 Aproximación lineal por trozo o de grado 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2 Polinomio de Lagrange de grado n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3 Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.4 Método de las diferencias divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.5 Cálculo de diferencias divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.6 Interpolación de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.7 Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5 Derivadas Numéricas 183
5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6 Spline Cúbicos 189
6.1 Construcción de Spline cúbicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.2 Otra forma de construir spline cúbicos naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7 Ajuste de Curvas 197
7.1 Ajuste de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2 Ajuste por rectas: recta de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3 Ajuste potencial y = AxM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.4 Ajuste con curvas del tipo y = CeAx , conC>0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.5 Método no lineal de los mínimos cuadrados para y = CeAx . . . . . . . . . . . . 201
7.6 Combinaciones lineales en mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.7 Ajuste polonomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8 Integración Numérica 205
8.1 Regla de los trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.2 Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 Regla de Simpson (3 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.4 Fórmulas de Newton–Cotes cerradas de (n+1) puntos . . . . . . . . . . . . . . 209
8.5 Fórmulas abiertas de Newton–Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.6 Integración de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.7 Cuadratura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.8 Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9 Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias 221
9.1 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.1.1 Análisis del error para el módulo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.2 Método de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9.3 Método del punto medio o método de Euler mejorado . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.4 Métodos de Runge–Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.4.1 Runge–Kutta de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.4.2 Método de Ralston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.4.3 Método de Runge–Kutta de orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.4.4 Método de Runge–Kuta de orden 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.4.5 Método de Runge–Kuta de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.5 Métodos multipaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.5.1 Método de Adams–Bashforth de dos pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.5.2 Método de Adams–Bashforth de 3 pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.5.3 Método de Adams–Bashforth de 4 pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.5.4 Método de Adams–Bashforth de 5 pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.5.5 Método de Adams–Moulton de dos pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.5.6 Método de Adams–Moulton de tres pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.7 Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.8 Problemas con valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias . . . 235
9.8.1 Método del disparo para el problema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.9 El método del disparo para el problema no lineal de valores en la frontera . . . . 238
9.9.1 Determinación de los parámetros sk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.10 Método de diferencias finitas para problemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.10.1 Caso no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.11 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

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